Un espace de Hilbert est une structure mathématique fondamentale qui généralise les notions familières d'espace euclidien (comme le plan ² ou l'espace à trois dimensions ³) à des dimensions potentiellement infinies, tout en conservant les concepts de longueur, d'angle et d'orthogonalité. Il s'agit d'un type particulier d'espace vectoriel doté de propriétés supplémentaires.

Un espace de Hilbert est d'abord un espace vectoriel sur le corps des nombres réels () ou complexes (). Cela signifie que l'on peut y additionner des éléments (appelés vecteurs) et les multiplier par des scalaires (nombres réels ou complexes), en respectant les axiomes habituels des espaces vectoriels (associativité, commutativité, distributivité, existence d'un vecteur nul, etc.).

Ce qui distingue un espace de Hilbert est la présence d'un produit scalaire. Un produit scalaire est une opération qui prend deux vecteurs de l'espace et leur associe un scalaire (réel si l'espace est sur , complexe si l'espace est sur ). Ce produit scalaire, généralement noté < x, y >, doit satisfaire certaines propriétés pour tous vecteurs x, y, z et tout scalaire α.

• Linéarité (par rapport à l'un des arguments, disons le premier) :

< α x + y,  z > = α  < x,  z > + < y, z >.

• Symétrie (pour les espaces sur ) ou Symétrie hermitienne (pour les espaces sur ) : < x, y > = < y, x > (pour ) ou < x, y > =  (pour ), où le surlignement désigne la conjugaison complexe. Cette propriété, combinée à la linéarité du premier argument, implique une anti-linéarité (ou semi-linéarité) du deuxième argument dans le cas complexe : < x, α y + z > =  <x, y > + < x, z >.

• Positivité et non-dégénérescence : < x, x > ≥  0 pour tout x, et < x, x > = 0 si et seulement si x est le vecteur nul. Le produit scalaire d'un vecteur avec lui-même, < x, x >, est toujours un nombre réel non négatif.

La norme permet à son tour de définir une distance entre deux vecteurs x et y comme d(x, y) = |x - y|. Cette distance fait de l'espace un espace métrique, ce qui permet de parler rigoureusement de notions de convergence pour les suites de vecteurs. Un espace vectoriel muni d'un produit scalaire (et donc d'une norme et d'une distance induites) est appelé un espace préhilbertien ou espace à produit scalaire.

La propriété finale et essentielle qui transforme un espace préhilbertien en espace de Hilbert est la complétude. Un espace est dit complet si toute suite de Cauchy dans cet espace converge vers un élément qui appartient lui aussi à l'espace. Une suite de Cauchy est une suite dont les termes deviennent arbitrairement proches les uns des autres à mesure que l'on avance dans la suite. Intuitivement, la complétude signifie que l'espace n'a pas de "trous". Si une suite de vecteurs devrait converger (parce qu'elle est de Cauchy), alors elle converge effectivement vers un vecteur qui est bien "dans" l'espace. Cette propriété est cruciale pour la validité de nombreux théorèmes et techniques d'analyse, comme la convergence de séries, l'existence de solutions à certaines équations, etc. L'analogie classique est celle des nombres rationnels (qui ne sont pas complets car des suites de rationnels peuvent converger vers des irrationnels) et des nombres réels (qui sont complets).

En résumé, un espace de Hilbert est un espace vectoriel (sur  ou ) muni d'un produit scalaire tel que l'espace est complet pour la norme induite par ce produit scalaire.

Les espaces de Hilbert sont au coeur de nombreuses théories mathématiques et physiques. Les exemples les plus simples sont les espaces euclidiens ⁿ et les espaces hermitiens ⁿ avec leur produit scalaire standard. Des exemples plus complexes, souvent de dimension infinie, incluent les espaces L²(Ω, μ) des fonctions de carré intégrable et les espaces ℓ² des suites de carré sommable. Ces espaces de dimension infinie sont le cadre naturel pour l'étude des séries de Fourier, des équations aux dérivées partielles et constituent le formalisme mathématique de base de la mécanique quantique. Le produit scalaire permet de définir des notions géométriques (orthogonalité, projections), la norme donne une mesure de taille, et la complétude garantit que les techniques d'analyse basées sur les limites fonctionnent bien.