Un espace vectoriel est un ensemble de vecteurs (L'algèbre linéaire) sur lequel sont définies deux opérations : l'addition des vecteurs  (commutative et notée +) et la multiplication d'un vecteur par un scalaire (notée . ou notée implicitement), respectant un certain nombre de propriétés :

• Commutativité de l'addition : pour tous vecteurs u et v, u+v =v+u.

• Associativité de l'addition : pour tous vecteurs u, v et w, (u+v)+w = u+(v+w).

• Existence d'un élément neutre pour l'addition : il existe un vecteur nul 0 tel que, pour tout vecteur u, u+0 = u.

• Existence d'un inverse additif ( = opposé) : pour chaque vecteur u, il existe un vecteur −u tel que u+(−u) = 0.

• Associativité de la multiplication par un scalaire : pour tout scalaire a et b, et tout vecteur u, a(bu)=(ab)u.

• Distributivité de la multiplication par un scalaire par rapport à l'addition des scalaires : pour tous scalaires a et b, et tout vecteur u, (a+b)u=au+bu.

• Distributivité de la multiplication par un scalaire par rapport à l'addition des vecteurs : pour tout scalaire a, et tous vecteurs u et v, a(u+v)=au+av.

• Existence d'un élément neutre pour la multiplication par un scalaire : pour tout vecteur u, 1u= 1, où 1 est l'unité du corps des scalaires.

Les scalaires appartiennent à un corps, souvent   (les réels) ou  (les complexes). Un espace vectoriel peut être de dimension finie ou infinie, selon le nombre de vecteurs linéairement indépendants nécessaires pour exprimer tous les vecteurs de l'espace.