C'est un cas particulier du problème à N corps, mais il est déjà extrêmement riche : il contient le chaos déterministe, des solutions périodiques remarquables, des points d'équilibre, des singularités et de nombreuses applications en astronomie et en astronautique. Le problème à N corps généralise le problème des trois corps en conservant ses ingrédients essentiels : non-intégrabilité, chaos, singularités et richesses dynamiques. Pour N = 2, il est intégrable; pour N = 3, il est déjà chaotique; pour N grand, il devient un objet d'étude statistique. Il reste un domaine actif, à l'interface des mathématiques, de la mécanique céleste, de l'astrophysique et du calcul scientifique.

Jalons historiques.
Le problème des trois corps a joué un rôle historique majeur dans le développement de la mécanique céleste, de la théorie des systèmes dynamiques et du chaos, et reste aujourd'hui un domaine actif, tant en mathématiques qu'en astrophysique et en astronautique. Sa difficulté a été comprise progressivement au XVIII^e et XIX^e siècles. Euler et Lagrange ont trouvé des solutions particulières remarquables, dites configurations centrales : la solution colinéaire d'Euler, où les trois corps restent alignés, et la solution équilatérale de Lagrange, où ils forment en permanence un triangle équilatéral tout en tournant ou en variant d'échelle. Ces solutions existent pour des masses et des conditions initiales très spécifiques, mais elles ne représentent pas le cas général.

Le tournant théorique vient de Poincaré à la fin du XIX^e siècle. En étudiant le problème restreint des trois corps (où l'un des trois corps a une masse négligeable et n'influence pas les deux autres), il montre que le système n'est pas intégrable au sens de Liouville : il n'existe pas assez d'intégrales premières indépendantes pour réduire le problème à des quadratures. Poincaré met en évidence l'existence d'une sensibilité extrême aux conditions initiales, préfigurant ce qu'on appellera plus tard le chaos déterministe. Deux trajectoires issues de conditions initiales presque identiques peuvent diverger de façon exponentielle, rendant toute prédiction à long terme pratiquement impossible malgré le caractère parfaitement déterministe des équations.

Malgré cette absence de solution générale, des résultats existent. Sundman a démontré en 1912 l'existence d'une solution sous forme de série convergente pour presque toutes les conditions initiales, mais cette série converge si lentement qu'elle est sans utilité pratique. Par ailleurs, on connaît aujourd'hui, grâce au calcul numérique, de nombreuses solutions périodiques remarquables, comme la fameuse orbite en huit découverte à la fin des années 1990, où trois masses égales se poursuivent sur une même courbe en forme de huit.

La généralisation naturelle est le problème à N corps, qui étudie le mouvement de N masses ponctuelles en interaction gravitationnelle mutuelle. Les équations du mouvement s'écrivent simplement à partir de la loi de Newton généralisée, mais leur complexité croît rapidement avec N : le système comporte 6N degrés de liberté (position et vitesse de chaque corps dans l'espace), et seules dix intégrales premières classiques subsistent de façon générale (conservation de l'énergie, du moment cinétique et du mouvement du centre de masse), très insuffisantes pour intégrer le système dès que N dépasse deux.

Le problème à N corps présente lui aussi un comportement chaotique générique, avec en plus la possibilité de phénomènes propres aux grands systèmes : quasi-collisions, éjections de corps, échanges d'énergie entre sous-systèmes, évolution vers des états hiérarchiques (un système large orbité par des paires internes plus serrées), ou encore singularités où des trajectoires deviennent non analytiques après un temps fini (mises en évidence notamment par les travaux de Xia sur les singularités non liées à des collisions).

En pratique, l'étude du problème à N corps s'appuie aujourd'hui essentiellement sur l'intégration numérique, à l'aide de méthodes spécialisées (intégrateurs symplectiques, régularisation des équations près des collisions, méthodes en arbre ou multipolaires pour réduire le coût de calcul en O(N log N) plutôt qu'en O(N²)). Ce problème est central en astronomie et en astrophysique, que ce soit pour l'étude de la stabilité du Système solaire, la dynamique des amas stellaires et des galaxies, ou la formation des structures cosmiques à grande échelle.

Formulation mathématique.
Soient trois corps de masses m1, m2, m3​, de positions r1, r2, r3³. La loi de Newton donne, pour chaque corps i,

où G est la constante gravitationnelle. De manière équivalente, ces équations dérivent du potentiel

puisque

On peut aussi écrire le système sous forme hamiltonienne. Si â€‹, alors

où E est l'énergie totale, constante.

Le système possède donc a priori 9 coordonnées spatiales, soit 18 équations différentielles du premier ordre. Après réduction par les symétries de translation et de rotation, il reste 3 degrés de liberté (6 dimensions de phase), ce qui est déjà suffisant pour produire un comportement chaotique.

Invariants et réduction.
Le problème des trois corps admet plusieurs intégrales premières classiques :

• Quantité de mouvement totale : 

• Centre de masse :  qui se déplace uniformément.
 

• Moment cinétique total : 

• Énergie totale :  avec .

Une identité importante est l'identité de Lagrange-Jacobi. Si l'on définit le moment d'inertie par rapport au centre de masse

alors

Comme T ≥ 0, si E ≥ 0, alors  ≥ 0 : le système ne peut pas rester borné et finit par s'étendre. Si E < 0, un mouvement borné est possible.

Intégrabilité et chaos.
Le problème des trois corps n'est pas intégrable en général. Plus précisément :

• Bruns et Poincaré ont montré qu'il n'existe pas d'intégrale première supplémentaire "utile" au-delà des intégrales classiques, qui permette d'intégrer complètement le système par quadratures.

• Le système présente un chaos déterministe : pour de nombreuses conditions initiales, deux trajectoires initialement très proches divergent exponentiellement.

• Poincaré a mis en évidence, dans le problème restreint, des réseaux homoclines et hétéroclines, source de sensibilité aux conditions initiales.

• Le problème à deux corps;

• Les solutions d'Euler et de Lagrange;

• Le problème restreint dans certaines limites;

• Les mouvements quasi périodiques décrits par la théorie KAM (Kolmogorov-Arnold-Moser) lorsque le système est proche d'un cas intégrable.

Solutions remarquables.
Solutions d'Euler.
Euler a montré qu'il existe des configurations colinéaires où les trois corps restent alignés et tournent autour de leur centre de masse comme un corps rigide. Pour des masses quelconques, il existe trois familles de telles solutions, selon le corps qui se trouve au milieu.

Solutions de Lagrange.
Lagrange a découvert que trois masses quelconques peuvent former un triangle équilatéral tournant autour de son centre de masse. Ces solutions sont des équilibres relatifs dans le repère tournant. Dans le problème restreint, elles correspondent aux points de Lagrange L4​ et L5​.

Orbites périodiques et chorégraphies.
Le problème des trois corps possède une infinité de solutions périodiques. Une découverte célèbre est la chorégraphie en huit pour trois masses égales, mise en évidence par Chenciner et Montgomery en 2000 : les trois corps suivent la même courbe en forme de 8, déphasés d'un tiers de période. Depuis, de nombreuses familles de chorégraphies et d'orbites périodiques ont été trouvées numériquement et analysées mathématiquement.

Le problème restreint des trois corps.
Un cas particulièrement important est le problème restreint des trois corps : deux corps massifs, appelés primaires, décrivent une orbite connue (souvent circulaire), et un troisième corps de masse négligeable se déplace dans leur champ gravitationnel.

Dans le repère tournant synodique, en unités normalisées, les équations du mouvement plan s'écrivent

avec le potentiel effectif

où μμ est le rapport de masse, et

Les points d'équilibre de ce potentiel sont les cinq points de Lagrange L1, …, L5​. Les points L1​, L2​, L3​ sont instables; L4​ et L5​ sont stables si le rapport de masse vérifie 27μ(1−μ) < 1, soit μ<0,03852 environ (ou son symétrique). Cette stabilité explique l'existence des astéroïdes troyens aux points L4​ et L5​ du système Soleil-Jupiter. Les missions spatiales utilisent aussi L1​ et L2​, par exemple SOHO, Gaia ou le télescope James Webb.

Singularités et régularisation.
Les équations deviennent singulières lorsqu'une collision se produit, car la force gravitationnelle diverge. On distingue :

• Les collisions binaires : deux corps se rapprochent indéfiniment;

• Les collisions totales : les trois corps se rencontrent en un même point.

Les collisions binaires peuvent être régularisées par des transformations de variables, comme la transformation de Levi-Civita en dimension 2 ou celle de Kustaanheimo-Stiefel en dimension 3. Cela permet de prolonger analytiquement les trajectoires au-delà du choc.

Méthodes numériques et applications.
En pratique, le problème des trois corps est étudié numériquement. Les défis principaux sont les rencontres rapprochées, qui nécessitent des pas de temps très petits; la conservation à long terme de l'énergie et du moment cinétique;  le chaos, qui limite l'horizon de prédictibilité. On utilise des intégrateurs symplectiques, des méthodes à pas adaptatif, des régularisations et des calculs en haute précision.

Les applications sont nombreuses : stabilité du Système solaire et des systèmes planétaires; dynamique des exoplanètes dans les systèmes multiples; systèmes binaires avec un troisième corps; astéroïdes troyens et résonances; conception de missions spatiales; dynamique galactique et problèmes à N corps; tests de la gravitation et relativité générale.

La généralisation à N corps.
Le problème des trois corps est un cas particulier du problème à N corps, qui représente le cadre général de la mécanique céleste, visant à décrire et prédire le mouvement de plusieurs objets célestes en interaction gravitationnelle mutuelle. Cette différence apparente de quantité engendre en réalité une rupture qualitative profonde dans la manière dont les systèmes évoluent et dont les scientifiques les appréhendent, passant d'une étude de configurations spécifiques à une approche nécessairement statistique et globale.

La distinction fondamentale réside dans la rupture de l'intégrabilité et l'émergence du chaos. Alors que le problème à deux corps possède des solutions analytiques exactes et parfaitement prévisibles, l'ajout d'un troisième corps brise cette harmonie mathématique. Ce système devient chaotique, ce qui signifie qu'une infime variation dans la position ou la vitesse initiale des corps entraîne des divergences exponentielles dans leurs trajectoires futures, rendant toute prédiction déterministe à long terme impossible. Le problème à N corps, avec N supérieur à trois, pousse cette complexité à un niveau encore plus vertigineux, multipliant les interactions mutuelles et rendant le chaos encore plus omniprésent et intraitable par le calcul symbolique.

L'approche statistique.
Face à l'impossibilité d'une solution générale, les approches de résolution divergent radicalement. Pour le problème des trois corps, les scientifiques étudient des configurations spécifiques et simplifiées. Par exemple, le problème restreint des trois corps suppose qu'un corps a une masse négligeable par rapport aux deux autres, ce qui permet d'identifier des positions d'équilibre relatives, comme les points de Lagrange, ou des orbites périodiques très particulières. À l'inverse, le problème à N corps, tel qu'il se pose lorsque le nombre de corps N dans un système gravitationnel devient très grand, comme c'est le cas pour les amas globulaires, les galaxies ou les halos de matière sombre, le suivi déterministe de chaque trajectoire individuelle devient impossible, tant sur le plan analytique que computationnel. Cette impossibilité découle de la sensibilité extrême aux conditions initiales, caractéristique des systèmes chaotiques, et de la complexité algorithmique qui croît de manière prohibitive avec N. L'approche statistique contourne cette difficulté en abandonnant la description des orbites individuelles au profit d'une description continue dans l'espace des phases, un espace abstrait à six dimensions (trois pour la position, trois pour la vitesse) où l'état global du système est représenté par une fonction de distribution. Cette fonction indique la densité de probabilité de trouver une particule dans un volume infinitésimal de cet espace à un instant donné.

La fondation théorique de cette approche repose sur la transition de la mécanique microscopique à la dynamique des fluides en espace des phases. La description la plus rigoureuse commence par l'équation de Liouville, qui régit l'évolution de la densité de probabilité dans un espace des phases à 6N dimensions. Pour rendre le problème traitable, on utilise la hiérarchie BBGKY (Bogoliubov-Born-Green-Kirkwood-Yvon), qui relie l'évolution de la fonction de distribution à un corps à celle des fonctions de distribution à deux corps, puis à trois corps, et ainsi de suite. Lorsque N est très grand, l'influence gravitationnelle d'un corps individuel sur un autre devient négligeable par rapport à l'effet collectif de l'ensemble. En négligeant les corrélations à deux corps (approximation de champ moyen), la hiérarchie se tronque et l'on obtient l'équation de Boltzmann sans collision, universellement appelée équation de Vlasov en physique des plasmas et en dynamique stellaire. Cette équation stipule que la fonction de distribution est conservée le long des trajectoires dans l'espace des phases. Elle est couplée de manière auto-cohérente à l'équation de Poisson, qui relie la densité spatiale (obtenue en intégrant la fonction de distribution sur toutes les vitesses) au potentiel gravitationnel moyen généré par cette même densité. Ce système Vlasov-Poisson constitue le coeur de la modélisation des systèmes dits "sans collision".

Pour relier cette description mathématique abstraite aux quantités astrophysiques observables, on calcule les moments de la fonction de distribution par rapport à la variable vitesse. Le moment d'ordre zéro fournit la densité spatiale macroscopique, le premier moment donne le champ de vitesse moyenne du "fluide" stellaire, et le second moment central définit le tenseur de dispersion des vitesses. Ce dernier mesure l'étalement des vitesses individuelles autour de la moyenne et joue un rôle strictement analogue à la pression thermique dans un gaz ordinaire, bien qu'il s'agisse ici d'une "pression" de nature purement cinématique et généralement anisotrope. L'application de l'opérateur moment à l'équation de Vlasov engendre les équations de Jeans, qui sont l'équivalent gravitationnel des équations d'Euler en hydrodynamique. Un défi mathématique majeur, connu sous le nom de problème de fermeture, surgit immédiatement : chaque équation de moment fait intervenir le moment d'ordre supérieur. Pour résoudre le système, il est donc nécessaire d'introduire des hypothèses physiques supplémentaires, telles que l'isotropie des vitesses, l'existence d'une fonction de distribution dépendant uniquement des intégrales du mouvement (comme le théorème de Jeans), ou des relations de fermeture empiriques déduites de simulations.

L'évolution temporelle de ces systèmes est régie par des mécanismes de relaxation qui diffèrent radicalement de ceux des gaz ordinaires, principalement en raison de la portée infinie et de la nature purement attractive de la force gravitationnelle, laquelle confère aux systèmes auto-gravitants une capacité calorifique négative. Deux régimes distincts dominent selon l'échelle du système. Dans les systèmes denses et de taille modérée, comme les amas globulaires, les rencontres rapprochées entre deux corps, bien que rares, s'accumulent sur des échelles de temps longues. Ce régime "collisionnel" est décrit par l'équation de Fokker-Planck, qui ajoute un terme de diffusion à l'équation de Vlasov pour modéliser les petits transferts d'énergie et de moment angulaire lors des déflections. Ce processus conduit à des phénomènes séculaires profonds tels que la ségrégation de masse (les objets les plus lourds migrent vers le centre) et l'effondrement du coeur (core collapse), sur un temps de relaxation proportionnel à N divisé par le logarithme de N, multiplié par le temps de traversée dynamique. 

À l'inverse, pour les galaxies où N est de l'ordre de 10¹¹, ce temps de relaxation collisionnel dépasse largement l'âge de l'univers, rendant les recontres binaires totalement inefficaces pour modifier la structure globale. L'évolution est alors dominée par la "relaxation violente", un concept théorisé par Donald Lynden-Bell. Ce processus sans collision se produit lors de la formation initiale du système, lorsque le potentiel gravitationnel global subit des fluctuations rapides et de grande amplitude. Ces variations temporelles brisent la conservation des intégrales du mouvement individuelles (comme l'énergie orbitale), permettant une redistribution massive et rapide de l'énergie entre les particules. Le système évolue alors vers un état quasi-stationnaire (QSS) non pas par des collisions, mais par des mécanismes de mélange de phases (phase mixing) et d'amortissement de Landau, où les inhomogénéités de la fonction de distribution s'enroulent de manière filamentaire dans l'espace des phases jusqu'à devenir indiscernables à toute échelle macroscopique, laissant derrière elle un profil de densité lisse et stable.

Malgré sa puissance, l'approche de champ moyen possède des limites inhérentes liées à la nature discrète de la matière. Tout système réel est composé d'un nombre fini de particules, ce qui introduit un "bruit de grain" (shot noise) dans le potentiel gravitationnel. Ces fluctuations stochastiques peuvent, sur des temps très longs, exciter des instabilités, modifier lentement la fonction de distribution ou provoquer l'évaporation de particules aux grandes vitesses, même dans des régimes théoriquement sans collision. C'est précisément pour étudier l'interaction subtile entre la dynamique de champ moyen lisse et ces effets de granularité que les simulations numériques à N corps sont massivement utilisées. Bien qu'elles calculent des trajectoires discrètes, leurs résultats sont analysés a posteriori à l'aide des outils statistiques (calcul de profils de densité, de fonctions de distribution de vitesse, d'ellipsoïdes de dispersion) pour valider les prédictions théoriques. La force de l'approche statistique réside dans cette capacité remarquable à faire émerger des lois macroscopiques robustes et des structures stables à partir d'un chaos microscopique déterministe, ce qui transforme l'impossibilité du calcul exact de chaque orbite en une compréhension profonde et prédictive de la dynamique collective de l'univers.