Un phénomène périodique peut être décrit par une fonction mathématique qui dépend du temps (ou de l'espace lorsque la période (période spatiale) n'est pas un intervalle de temps, mais une distance) et qui repose sur le schéma de base offert par des fonctions sinusoïdales (c'est-à-dire qui impliquent les fonctions sinus et cosinus). De fait, toute fonction périodique peut être représentée comme une somme de sinusoïdes (harmoniques) selon la série de Fourier et cette propriété permet d'analyser toutes sortes de fonctions (ou de signaux)  en termes de composantes simples. L'étude des phénomènes périodiques implique également de distinguer entre représentation temporelle (évolution de l'amplitude au cours du temps) et représentation fréquentielle (répartition de l'énergie sur les fréquences). Les outils mathématiques comme les intégrales de Fourier, la transformée de Fourier discrète ou rapide (FFT) sont ici centraux.

En physique et en ingénierie, la sinusoïde est particulièrement importante car elle est solution d'équations différentielles linéaires décrivant des oscillateurs (mécaniques, électriques ou acoustiques). Elle se conserve en forme à travers des systèmes linéaires invariants dans le temps, ce qui facilite l'analyse des systèmes. Enfin, le principe de superposition et les notions de phase relative entre signaux permettent d'expliquer les phénomènes d'interférences, de battements et de résonance, essentiels pour comprendre la dynamique des systèmes oscillatoires.

Généralités

• Période (T) : Temps nécessaire pour compléter un cycle complet, mesuré en secondes (s). 

• Fréquence (f ) : Nombre de cycles complets par unité de temps, mesurée en hertz (Hz, équivalent à s^-1) : f = 1/T.

• Phase (φ). - Grandeur angulaire qui indique où se situe un point dans une oscillation par rapport à un point de référence. Elle permet de comparer différents phénomènes périodiques entre eux. Unité : le radian (rad) ou le degré (°). Exemple : Deux oscillateurs sinusoïdaux peuvent être en phase (0 rad ou 0°) ou déphasés (par exemple, π/2 rad ou 90°).

• Pulsation (ω). -  La pulsation ( = vitesse angulaire dans le cas d'un mouvement de rotation) est le taux de variation de la phase par rapport au temps. Plus la pulsation est grande, plus l'oscillation ou la rotation est rapide. Relation avec la période et la fréquence : ω=2Ï€f = 2Ï€/T (le facteur 2Ï€ vient du fait qu'un cycle complet [une oscillation ou un tour] correspond à un angle de 2Ï€ radians). Unité : le radian par seconde (rad/s).   La pulsation est très utilisée dans l'étude des systèmes oscillants (oscillateur harmonique, ondes) car elle simplifie considérablement les équations mathématiques qui décrivent ces phénomènes (équations différentielles, expressions de l'énergie, etc.). Les formules deviennent souvent plus élégantes en utilisant ω plutôt que f .

• Amplitude (A). - Plus grande valeur atteinte par une grandeur au cours d'une période. Elle représente la "portée" du phénomène. Exemple : pour un oscillateur, l'amplitude est la distance maximale parcourue par rapport à la position centrale. Unité : selon la grandeur mesurée (mètre [m] pour une oscillation mécanique).

• Facteurs de forme. - Paramètres qui décrivent la forme de la courbe du phénomène périodique. Ils permettent de comparer une oscillation réelle à une oscillation idéale (sinusoïdale). Le coefficient de forme indique la régularité de la forme d'onde. Le coefficient de distorsion mesure l'écart entre une onde réelle et une onde sinusoïdale.

• Harmoniques. - Oscillations ou des vibrations qui se produisent à des fréquences entières multiples de la fréquence fondamentale d'un signal périodique. La fréquence fondamentale correspond à la fréquence la plus basse du signal, tandis que les harmoniques sont ses multiples : le deuxième harmonique est deux fois la fréquence fondamentale, le troisième harmonique trois fois, et ainsi de suite. Ces harmoniques peuvent être présentes dans les ondes sonores, électriques ou mécaniques. Ils influencent la qualité sonore, la forme de l'onde, et sont au centre de l'analyse spectrale des signaux complexes.

Les oscillations.
Une oscillation est un mouvement répétitif d'un système autour d'une positio d'équilibre. Ce mouvement peut être linéaire ou curviligne, et il est caractérisé par des variations régulières de la position, de la vitesse et de l'accélération. Un exemple  d'oscillation est celui d'une masse attachée à un ressort (pendule élastique) : lorsque la masse est déplacée de sa position d'équilibre et relâchée, elle se met à osciller de gauche à droite autour de cette position, atteignant successivement des positions extrêmes avant de revenir vers le centre. Les oscillations seront dites harmoniques si elles suivent un mouvement sinusoïdal. Ici encore, la durée pour compléter un cycle complet est la période de l'oscillateur.

Les ondes mécaniques.
Les ondes mécaniques sont des perturbations qui se propagent à travers un milieu matériel, comme un solide, un liquide ou un gaz, en transportant de l'énergie sans déplacer de manière permanente la matière elle-même. Ces ondes nécessitent une présence de matière pour se propager, car elles dépendent des interactions entre les particules du milieu. Elles se manifestent sous différentes formes, telles que les ondes acoustiques (son), les ondes sismiques (séismes) ou encore les ondes dans un liquide (comme celles provoquées par un objet tombant dans l'eau). Leur vitesse de propagation dépend des propriétés du milieu, notamment sa rigidité et sa masse volumique. Les ondes mécaniques peuvent être représentées comme des variations périodiques de pression, de densité ou de déplacement dans le milieu. On en distingue principalement deux types principaux : les ondes transversales et les ondes longitudinales.

• Ondes transversales. - Les vibrations des particules du milieu sont perpendiculaires à la direction de propagation de l'onde. Un exemple typique est une corde vibrante où les particules oscillent de part et d'autre de la direction de la propagation de l'onde. La houle et les ondes sismiques S sont aussi des ondes transversales.

• Ondes longitudinales. - Les vibrations des particules du milieu sont parallèles à la direction de propagation de l'onde. C'est le cas des ondes sonores dans l'air, où les particules s'étirent et se compriment successivement, ou des ondes sismiques P.

Les ondes gravitationnelles.
On ajoutera encore un autre type d'onde, les ondes gravitationnelles, envisagées dans le cadre de la relativité générale et qui sont des perturbations qui affectent la géométrie de l'espace-temps. Ces rides infinitésimales dans le tissu de l'espace-temps sont générées par les événements les plus violents du cosmos. Leur détection directe en 2015 a été un triomphe de la physique théorique et expérimentale. Elle a non seulement validé de manière éclatante la théorie d'Einstein, mais aussi inauguré une ère nouvelle pour l'astrophysique. Il est désormais possible littéralement d'"écouter" les vibrations de l'univers.

Stroboscopie.
La stroboscopie est une technique d'analyse du mouvement périodique ou cyclique basée sur l'effet stroboscopique. Son principe fondamental repose sur l'illusion d'immobilité ou de ralenti obtenue en éclairant un objet en rotation ou en vibration avec de brèves impulsions de lumière à une fréquence spécifique.

L'observation d'un objet périodiquement mobile éclairé par une lumière continue permet de voir son mouvement réel. Si on le soumet à une lumière intermittente, la perception visuelle change radicalement. Lorsque la fréquence des éclairs (fe) est exactement égale à la fréquence de mouvement de l'objet (fo) ou à un de ses multiples entiers (fe = n.fo), l'objet apparaît immobile. Ce phénomène se produit car l'oeil perçoit l'objet dans la même position à chaque éclair, créant une image stationnaire composite.

Lorsque les fréquences sont légèrement différentes, l'objet semble se déplacer au ralenti, soit en avant si fe est légèrement inférieure à fo (ou un de ses multiples), soit en arrière dans le cas contraire. Cette différence de fréquence (fo - fe) détermine la fréquence apparente du mouvement ralenti.

Ainsi, pour mesurer une fréquence inconnue, on règle progressivement la fréquence des éclairs jusqu'à obtenir l'immobilité apparente. La fréquence de l'objet est alors égale à la fréquence du stroboscope ou à un de ses harmoniques. L'identification du multiple correct s'effectue généralement en partant d'une fréquence d'éclairs élevée que l'on diminue progressivement, notant la valeur du premier arrêt apparent qui correspond à la fréquence fondamentale réelle.

Les applications principales comprennent le contrôle de la vitesse de rotation de moteurs, l'analyse des vibrations mécaniques, l'étude de la déformation d'objets en mouvement, et l'étalonnage d'instruments de mesure. La précision de la méthode dépend de la stabilité de la fréquence des éclairs et de la netteté des impulsions lumineuses.

Le principe de superposition.
Le principe de superposition stipule que, dans un système linéaire, la réponse totale est la somme des réponses individuelles. Ainsi, lorsque deux signaux sinusoïdaux (décrits par deux fonctions sinusoïdales) se rencontrent, leur combinaison dépend de leur amplitude et surtout de leur phase relative.  La superposition explique mathématiquement la combinaison des signaux, tandis que la phase relative détermine qualitativement si cette combinaison conduit à une amplification (constructive), une annulation (destructive), une modulation lente (battements), ou une amplification résonante.

• Interférences. - Lorsque deux ondes de même fréquence mais de phases différentes se superposent, le résultat peut être constructif (si les phases sont en accord, les amplitudes s'additionnent) ou destructif (si elles sont en opposition, elles se soustraient). Cela explique les franges lumineuses en optique ou les zones de silence en acoustique.

• Battements. - Si deux ondes de fréquences proches se superposent, leur phase relative varie lentement dans le temps. On observe alors une modulation d'amplitude périodique, le signal résultant oscillant à la fréquence moyenne, mais son intensité variant à une fréquence égale à la différence entre les deux fréquences. Ce phénomène est crucial en acoustique (battements sonores) et en physique des vibrations.

• Résonance. - Lorsqu'un système oscillatoire est soumis à une excitation sinusoïdale proche de sa fréquence propre, la superposition répétée des oscillations externes et de la réponse interne conduit à une amplification progressive de l'amplitude. Le rôle de la phase est ici central : à la résonance, l'excitation et la réponse se synchronisent partiellement, maximisant le transfert d'énergie.

• La vitesse  v(t) = dx/dt = -Xmωsin(ωt +φ); la vitesse maximale est ( Vm = Xmω).

• L'accélération a(t) = dv/d} = -Xm ω² cos(ωt + φ) = -ω² x(t); l'accélération maximale est ( Am = Xm ω²).

Si l'on aborde le mouvement rectiligne sinusoïdal d'un point de vue dynamique, celui-ci va se caractériser par une force de rappel proportionnelle à l'élongation (loi de Hooke) : F = -k x, où  F est la force de rappel (en N),  k est la constante de raideur (en N/m), et  x ) est l'élongation par rapport à la position d'équilibre (en m). En appliquant le principe fondamental de la dynamique (2ᵉ loi de Newton), on obtient : m d²x/dt² = -k x. On retrouve l'équation différentielle du mouvement harmonique. On pose  -ω² = k/m, d'où d²x/dt² + ω² x = 0. La solution générale est bien la fonction sinusoïdale décrivant le mouvement rectiligne sinusoïdal: x(t) = Xmcos(ωt + φ).

L'énergie mécanique totale Em d'un tel système est la somme de son én ½ mω Xm² sin²( ωt + φ); l'énergie potentielle est, quant à elle, Ep =  ½k x² =  ½ k Xm² cos²(ωt + φ). Il s'ensuit que  Em = Ec + Ep =  ½k Xm².

Mouvement sinusoïdal de rotation.
Le mouvement sinusoïdal de rotation est l'équivalent en rotation du mouvement rectiligne harmonique, avec les correspondances suivantes : θ(t)  ↔ x(t) (élongation angulaire  ↔ position linéaire); ω(t) ↔ v(t) (vitesse angulaire ↔ vitesse linéaire); α(t) ↔ a(t) (accélération angulaire ↔ accélération linéaire). Ce modèle s'applique aux systèmes oscillants en rotation, comme les pendules de torsion, les balanciers et certains systèmes mécaniques ou électromagnétiques.

• Équation horaire du mouvement. - Un corps en mouvement de rotation sinusoïdal voit son angle (θ) varier selon : θ(t) = θmcos(ωt + φ), où θmc est l'amplitude angulaire (déplacement maximal, en rad), ω est la pulsation (en rad/s), liée à la fréquence f par (ω = 2πf), φ est la phase initiale (en rad).

• Vitesse angulaire. - La vitesse angulaire est la dérivée de θ par rapport au temps : ω (t) = dθ/dt = -θmω.sin(ω t +  φ). La vitesse angulaire maximale est (ωm = θmω ).

• Accélération angulaire. - L'accélération angulaire est la dérivée de la vitesse angulaire ω : α(t) = dω/dt = -θm ω² cos(ωt + φ) = -ω² θ(t). L'accélération angulaire maximale est αm = θmω²).