Cette approche peut être utilisée pour vérifier la validité d'une formule existante ou pour déduire de nouvelles formules. Si une relation dimensionnelle n'est pas satisfaite, cela signifie qu'il y a une incohérence dans les unités utilisées. L'analyse dimensionnelle est utile pour éviter les erreurs dans les calculs et pour obtenir des indications sur les relations entre différentes grandeurs physiques. Cependant, elle ne fournit pas toujours des constantes numériques exactes et ne tient pas compte des facteurs sans dimensions (coefficients adimensionnels) qui peuvent être présents dans certaines équations.

Dimensions et unités. Notions de base.
L'analyse dimensionnelle repose sur un constat simple : toute grandeur physique peut s'exprimer comme un produit de puissances des 7 dimensions fondamentales du Système International (longueur, masse, temps, courant, température, quantité de matière, intensité lumineuse). Ces dimensions sont distinctes des unités :

• Dimension : nature physique d'une grandeur (longueur, masse, temps, etc.). Elle est indépendante du système d'unités.

• Unité : étalon de mesure particulier pour une dimension (mètre, kilogramme, seconde, heure).

 

Dimension	Symbole  usuel
Masse	M
Longueur	L
Temps	T
Température	Θ
Courant électrique	I
Quantité de matière	N
Intensité lumineuse	J

Exemples de dimensions dérivées :

Vitesse : [v]=L T⁻¹
Accélération : [a]=L T⁻²
Force : [F]=M L T⁻²
Pression : [p]=M L⁻¹ T⁻²
Viscosité dynamique : [μ]=M L⁻¹ T⁻¹
Énergie : [E]=M L²T⁻²

• Les opérations mathématiques telles que l'addition, la soustraction, la multiplication et la division doivent ainsi être cohérentes au niveau des dimensions. Par exemple, on ne peut pas additionner une longueur avec une masse, car elles ont des dimensions différentes. En examinant les dimensions des termes dans une équation physique, on peut déduire des relations entre différentes grandeurs. Par exemple, si on a une équation F = m, où F est la force, m est la masse et a est l'accélération, en termes de dimensions, [F] = [MLT^-2] (car force = masse × accélération). 

Méthode de Rayleigh.
C'est la forme la plus élémentaire d'analyse dimensionnelle. On suppose qu'une grandeur cible Y est proportionnelle à un produit de puissances des variables influentes X1, X2, …, Xn​ : Y = k.X1^aX2^b...Xn^m. On écrit l'égalité des dimensions :
[Y] = [X1]^a[X2]^b...[Xn]^m. On obtient un système d'équations sur les exposants a, b, …, m en identifiant les puissances de chaque dimension de base (M, L, T…). Si le nombre de variables moins le nombre de dimensions fondamentales est supérieur à un, la solution n'est plus unique. Il faut alors passer au théorème de Buckingham.

Théorème de Buckingham (Π-théorème).
Le théorème de Buckingham (ou théorème des groupements Π) constitue l'outil central de l'analyse dimensionnelle.

• Énoncé : Si une relation physique implique nn grandeurs Q1, Q2, …,Qn​ reliées par f(Q1, Q2, …, Qn) = 0 et si ces grandeurs font intervenir k dimensions fondamentales (indépendantes), alors il existe une relation équivalente entre p=n−k groupements sans dimension Π1, Π2,…,Πp : F(Π1,Π2, …,Πp) = 0.

Mise en oeuvre pratique (procédure systématique).
1) Identifier toutes les grandeurs physiques qui interviennent dans le phénomène (variables dépendantes, indépendantes, constantes physiques).

Exemple : pour la force de traînée F sur une sphère en écoulement : F, ρ, V, D, μ.

    [F]=MLT⁻²,  [ρ]=ML⁻³,  [V]=LT⁻¹,  [D]=L,  [μ]=ML⁻¹T⁻¹.

Ici n=5, k=3 → p=2 groupements Π.

Dans notre exemple, on prend souvent la masse volumique ρ, la vitesse V et le diamètre D car : ρ introduit la masse, V introduit le temps, D complète la longueur.

[F][ρ]^a[V]^b[D]^c = (MLT⁻²)(ML⁻³)^a(LT⁻¹)^b(L)^c = M^1+aL^1−3a+b+cT^−2−b=M⁰L⁰T⁰.

Π1 = F/'ρV²D²) (souvent noteˊ CDπ/8).

Π2 = μ ρ^aV^bD^c  →  a=−1,  b=−1,  c=−1  →  Π2 = μ/(ρVD) = 1/Re. (NB : Re est le nombre de Reynolds :  il condense 4 variables (densité, vitesse, longueur, viscosité) en un seul nombre sans dimension qui caractérise le régime d'écoulement)).

CD = f(Re) avec Re = ρVD/μ.

Perte de charge dans une conduite.
Variables : Δp (perte de pression), L (longueur), D (diamètre), ρ, μ, V, ϵ (rugosité). On obtient le coefficient de frottement f = g(Re, ϵ/D), ce qui fonde le diagramme de Moody.

Limites et précautions.
L'analyse dimensionnelle ne détermine pas les constantes numériques (le facteur 2π dans la période du pendule, par exemple). Elle ne distingue pas non plus des grandeurs de même dimension mais de nature différente (énergie cinétique et énergie potentielle ont toutes deux la dimension [M L² T⁻²]). 

Elle ne fournit pas la fonction mathématique exacte. L'analyse dimensionnelle donne la forme des groupements sans dimension, mais pas la relation F(Π1, …, Πp) = 0; celle-ci doit être déterminée par la théorie ou l'expérience.

Omettre une grandeur importante ou en inclure une non pertinente fausse le résultat. Le nombre de groupements sans dimension dépend directement de la liste des variables retenues. Par exemple, ne pas inclure g dans l'étude de la traînée d'un avion est correct si l'on néglige les effets de gravité, mais cela exclut la similitude de Froude.

Si des grandeurs sont dimensionnellement dépendantes, k effectif peut être inférieur au nombre de dimensions fondamentales, augmentant le nombre de Π.

Dans certains domaines (mécanique quantique, relativité), les constantes fondamentales , c, G peuvent être utilisées pour réduire le nombre de dimensions de base. Le choix des bases dimensionnelles n'est pas unique et peut influencer le nombre de groupements.

La méthode est purement formelle; elle n'indique pas le sens de la relation causale.

Analyse dimensionnelle orientée et Algèbre des dimensions.
Parfois, on assigne des exposants dimensionnels à des quantités qui n'en ont pas a priori (analyse dimensionnelle dite "étendue"), par exemple pour des problèmes d'échange de chaleur avec la température. On peut associer des dimensions différentes aux composantes d'un vecteur si le système n'est pas isotrope (très rare en pratique, mais utile pour certaines théories).

L'analyse dimensionnelle classique repose, on l'a vu, sur l'idée que toute grandeur physique peut s'exprimer comme un monôme de grandeurs fondamentales, généralement la longueur L, la masse M, le temps T, l'intensité électrique I, etc. Une équation physique étant homogène, ses termes possèdent tous la même dimension. Ce principe, combiné à la structure multiplicative des dimensions, permet de réduire le nombre de variables d'un problème via le théorème de Vaschy-Buckingham. Toutefois, l'approche classique efface les informations d'orientation spatiale : une longueur horizontale et une longueur verticale sont identifiées à la même dimension L. L'analyse dimensionnelle orientée ainsi que la notion de dimensions vectorielles dépassent cette limite en introduisant des dimensions qui portent une information directionnelle.

L'idée d'attacher une orientation aux dimensions remonte notamment aux travaux de Huntley, qui proposa d'éclater la dimension L en plusieurs dimensions distinctes selon les axes d'un repère : Lx, Ly, Lz. Ainsi, une longueur mesurée selon x possède la dimension Lx, une surface dans le plan xy possède la dimension Lx Ly, et un volume la dimension Lx Ly Lz. La vitesse vx a alors la dimension Lx T^{-1}, tandis que vy est en Ly T^{-1}; ces deux composantes ne peuvent être additionnées algébriquement car leurs dimensions diffèrent, ce qui reflète leur indépendance vectorielle. L'avantage immédiat est que le nombre de grandeurs fondamentales augmente (souvent de 3 à 5 si l'on distingue les trois directions et que le problème possède une symétrie réduite), ce qui réduit d'autant le nombre de groupements sans dimension prédits par le théorème de Buckingham. Par exemple, dans l'étude de la portée d'un projectile, la distinction entre hauteur (Ly) et distance horizontale (Lx) fait passer le nombre de paramètres adimensionnels de 2 à 1, forçant une loi de proportionnalité plus contraignante.

L'introduction des dimensions vectorielles ne se limite pas à un simple étiquetage axial. Siano a développé une analyse dimensionnelle orientée plus profonde en attribuant aux angles et aux orientations une véritable algèbre dimensionnelle. Il introduit des "symboles d'orientation" comme 1x, 1y, 1z, qui ne possèdent pas de magnitude de longueur mais uniquement une direction. Une grandeur scalaire comme une énergie (travail d'une force) est représentée par 10 (pas d'orientation), tandis qu'un couple (produit vectoriel d'une force et d'un bras de levier) porte l'orientation perpendiculaire au plan, par exemple 1z pour un couple dans le plan xy. Cela permet de distinguer dimensionnellement des grandeurs qui ont les mêmes exposants L, M, T mais des caractères vectoriels différents (pseudoscalaires, vecteurs axiaux, etc.). Les angles apparaissent alors comme le rapport de deux longueurs d'orientations différentes : un angle dans le plan xy a la dimension 1y/1x = 1y 1x^{-1}, le rendant "dimensionné" en orientation mais sans dimension en L, M, T. Les fonctions trigonométriques deviennent alors acceptables dimensionnellement car leur argument porte une dimension d'orientation non triviale, ce que l'analyse classique interdisait (argument d'une fonction transcendante devant être sans dimension). 

L'algèbre d'orientations est celle d'un groupe abélien libre engendré par les trois orientations de base, et les dimensions vectorielles complètes sont le produit tensoriel des dimensions classiques (L, M, T…) et de cette algèbre d'orientation. Ainsi, une grandeur possède une dimension orientée complète, par exemple [vitesse angulaire] = T^{-1} 1z, [force] = M L T^{-2} 1x, etc.

L'algèbre des dimensions, qu'elle soit scalaire ou orientée, est l'ossature du théorème de Vaschy-Buckingham. Ce théorème stipule que tout problème physique décrit par n variables liées par une relation dimensionnellement homogène peut être reformulé comme une relation entre p = n – k groupements sans dimension (les « π »), où k est le rang de la matrice dimensionnelle, c'est-à-dire le nombre de dimensions fondamentales indépendantes nécessaires pour décrire les n grandeurs. 

Algébriquement, les dimensions forment un espace vectoriel sur  (les exposants étant rationnels). Si l'on note ei le vecteur des exposants de la grandeur i dans la base des dimensions fondamentales, une combinaison sans dimension correspond à un vecteur x tel que ∑ xi ei = 0. L'ensemble de ces combinaisons est le noyau de la matrice dimensionnelle, de dimension n – k. En pratique, on choisit k variables répétitives contenant toutes les dimensions fondamentales, et l'on forme les groupements π en multipliant les autres variables par des puissances adéquates de ces répétitives de manière à annuler toute dimension. Le théorème de Vaschy-Buckingham repose donc entièrement sur l'homogénéité dimensionnelle et sur la structure d'espace vectoriel des dimensions : le produit de grandeurs correspond à l'addition des vecteurs d'exposants, le rapport à leur soustraction, l'élévation à une puissance à la multiplication par un scalaire.

L'analyse orientée élargit simplement l'espace vectoriel des dimensions. En incluant des dimensions directionnelles (Lx, Ly, Lz au lieu de L, ou les symboles d'orientation), le rang k augmente, ce qui peut diminuer p. Cela se traduit souvent par une réduction du nombre de paramètres adimensionnels et donc une contrainte plus forte sur la forme de la loi physique. Le théorème de Buckingham conserve toute sa validité : le nombre de π est toujours n – rang(M), où M est la matrice dimensionnelle étendue. Il faut cependant rester attentif à la physique du problème pour attribuer correctement les dimensions orientées; une erreur d'assignation conduit à des contraintes fausses. L'analyse dimensionnelle orientée et les dimensions vectorielles raffinent ainsi la célèbre méthode en exploitant les symétries (ou les brisures de symétrie) spatiales du système, révélant une information que l'algèbre purement scalaire des dimensions masquait.